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数学家的故事


【2020-10-18】 【教育】


1 Thales
 
数学史上,第一位留下名字的数学家是谁呢?他叫Thales,古希腊人。关于他的生平,大家所知甚少。他的数学成果,也都是后人转述,他自己并未留下任何专门著作。据说他曾成功预测了公元前五八五年的日全蚀,后人据此推测他的生活年代,大约在公元前六二四年至公元前五四六年。
 
Thales 居住在Miletus,在当时是一个非常富有的商贸城市。那里是希腊哲学,数学和科学的发源地。
 
Thales 是古希腊七贤之一。他是一个精明的商人,经常靠一群骡子运送食盐。在一次渡河的时候,一个骡子不慎滑了一跤,背上装满食盐的麻袋泡在水里,盐被融化了,背上负重减轻了不少。于是每次渡河,这个聪明的骡子就故伎重施,都要有意滑它一跤。当然这瞒不过睿智的Thales,于是有一次他在麻袋里装满了海绵而不是盐,终于治愈了骡子的毛病。
 
Thales 经商赚了很多钱,于是就像很多富有的商人一样,早早退了休。与别人不一样的是,他把闲暇时间用在了哲学,数学和天文学上。所以他也是哲学家和天文学家。
 
有天晚上,Thales又在仰望星空,一门心思琢磨天上的事情,结果不小心栽到脚底下的小水沟里去了。照料他的老佣人抱怨说,你脚底下的水沟都看不清,又怎能明白天上的事呢?
 
Thales 的数学是从巴比伦人和古埃及人那里学来的。古希腊人最伟大的地方就是,能够快速学习先进的外来文化,并且将之归纳提高。
 
Thales 都有那些数学成就呢?这里简单列举几条:
 
半圆上的圆周角是直角。
任意直径都等分一个圆。
对顶角相等。
等腰三角形的两底角相等。
如果两个三角形的一条边和两个相应的角分别相等,则两个三角形全等。
 
这些定理中的特例,也许他的巴比伦和埃及老师早已知晓,但Thales 是第一个将它们抽象概括出来的。
 
这些结果看似简单,却开启了数学的新纪元。数学,作为一门严格的科学,就这样诞生了。
 
2 Pythagoras
 
网上查了一下,Pythagoras生活在公元前570年至公元前495年。我读的数学史上稍有差异,说是公元前580至公元前500年。和中国的老子孔子是同时代人。网上的百度说了,孔子生于公元前551年9月28日,卒于公元前479年4月11日。老子的生卒年代不详,生于公元前约571年,卒于公元前约471年。那真是个伟大的时代,很多思想家哲学家都在那时诞生。
 
Pythagoras出生地是Samos,古希腊人,离Thales 的Miletus 不远。他和Thales 年龄相差也不太大,五十几年吧,可以说是同时代人。有些书上说,他是Thales 的学生。当然也有人质疑。不管是不是学生吧,Pythagoras的名气可大多了。著名的Pythagorean Theorem ,没听说过的人不多。
 
Thales 的哲学思想是万物皆水,Pythagoras的信条是万物皆数,由此可见他对数的执着和痴迷。他要是在数学史上不留下重彩, 这世上还有天理吗?他是不是数学史上第二个留下名字的数学家呢?不敢妄议。
 
Pythagoas所说的数实际是有理数。他的一个门徒后来发现,世界上还真有“无理”的数。比如说,边长为1的正方形,它的对角线就很“无理”。这样的发现在当时真是大逆不道,其发现者据说被同门兄弟活活给扔进大海淹死了。
 
同Thales 一样,Pythagoras 去过埃及,巴比伦甚至印度。埃及和巴比伦是当时的学问中心,他的数学不用说吸取了当地的数学精华。旅行回来后,大约在公元前529年,他定居在Crotona ,并在那里建立了一个很隐秘的兄弟会,宣扬他的数学,哲学和宗教。那里一切公有,奉行素食,颇有点共产主义的味道。兄弟会的一切发现,都归功于兄弟会的创立者,所以其发现后人都以Pythagorean 命名。
 
万物皆是有理数,多么美好!可惜万物皆有例外,无理数尤其众多,远远超过有理的数了。
 
呜呼!有可奈何?
 
注:无理表示不能写成两个整数的商。
 
3 Eudoxus
 
无理数的发现,对于Pythagoras学派来说,简直是地基上陷了个大坑。
 
地基上陷了个大坑,那该咋办?
 
有啥办法?想办法填坑补洞呗。
 
填坑补洞可不是件容易的事情,非得很多非凡的人不成。Eudoxus (公元前408年——公元前355年)就是其中一位关键的人物。他是古希腊伟大的数学家,在古希腊其数学地位仅次于后来的Archimedes。
 
说起Eudoxus ,就得说起他的老师Plato(公元前429年——公元前348年)。说起Plato ,又得说起他的老师Socrates,这样就没完没了了。所以就从Plato 说起。
 
Plato 是个很有个性的哲学家,创办了西方世界第一个现代意义的学院:雅典科学院。当时的雅典可不得了,俨然是西方世界政治商业和文化的中心。在演讲厅,Plato 让人在大门上写着:Let no one destitute of geometry enter my doors!就是说,几何知识贫乏的人别进我的大门。听听,他可不会说,没有财产的穷小子别进我的大门。
 
Eudoxus 恰恰是个没有财产的穷小子,来自Cnidus。贫穷和好学,真不是一对好搭挡。雅典是个高大上的城市,Eudoxus 囊中羞涩,住不起呀。没办法,他只能寄住在靠海的Piraeus ,每天来回步行十几英里到雅典。那可是尘土飞扬的泥土路啊!好在他在数学和天文学上天分极高,最终获得重要的位置,并到埃及,意大利和西西里旅行,见到了许多有名的学者。他在那次旅行中见到了他的另一位老师,几何学家,Pythagoras 学派的Archyras(公元前428年——公元前347年)。公元前368年,在他四十岁的时候,回到了雅典。陪伴他回来的还有一群他自己的学生。
 
Eudoxus 是如何填坑的呢?
 
Pythagoras 学派已经知道了无理数的存在,但对如何处理无理数却束手无策。知道是一回事,如何应对却完全是另一回事。Eudoxus 提出的比例(proportion)概念则成功地解决了这个问题。
 
有了比例这个概念,数学家们总算喘了一口气,数学的高楼大厦,可以继续接着盖了。
 
注:According to “men of mathematics “ by E.T. Bell, page 25, Eudoxus’s first teacher was Archytus. But from “The great mathematicians “ by H.W Turnbull, it seems that Plato was his first teacher.
 
4 Zeno
 
Eudoxus 是填坑补洞盖大楼的,用时行的话来说,是充满正能量的人。Zeno (公元前495—-公元前430)正相反,是专门寻找漏洞挑毛病的人,满满的负能量。Zeno 是著名的哲学家,他的好多悖论,叫人不好应付。也正因为这些悖论,让数学家们谨小慎微,避免了不少可能的陷阱,使得数学这个高楼大厦,得以建立在坚实的地基之上。
 
前面我们说过,Archytas 是Eudoxus 的另一位老师。Archytas 住在Tarentum,意大利南部的一个城市。
 
还记得Crotona吗?就是Pythagoras 在那里创立兄弟会的地方。在Crotona 和 Tarentum 之间,有个叫Elea 的城市,Zeno 就住在那里。他和他的老师Parmenides 在那里建立了Elea学派。
 
Pythagoras 学派认为空间和时间是连续的,是无穷可分的。Zeno 有两个有名的悖论,是说无穷可分是不可能的。
 
第一个悖论叫Dichotomy 悖论,用以证明,假如空间无穷可分,那么人就永远不可能从A点走到另一个B 点。他的推理是这样的,要走到B,就一定要先到AB的中点C,而要到C呢,又得先到AC的中点D,依此类推,这样弄下去,根本就没法子迈开第一步。
 
第二个悖论叫Achilles悖论,是说不管你Achilles能跑多快,都不可能追上你前面爬行的乌龟。下面是他的推理:假设Achilles在A点,乌龟在B点,当Achilles跑到B点的时候,乌龟已经在前面的某个C 点了,而当Achilles跑到C点时,乌龟又在前面的某个D点了,如此这般,就算Achilles 能日行千里,也追不到步履蹒跚的乌龟呀。
 
这么说来,Zeno 不认同无穷可分论,一定认可它的对立面啰?
 
不,他的另外两个悖论,就是用来说明对立面也同样有问题。
 
哈哈,可爱的Zeno先生就是这么任性,这么挑剔!
 


              
        

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